ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)
      จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง  ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้                                                   

ถ้ากำหนดให้      a = 1  และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
                                      ax         =          1x         =          1

ข้อสังเกต

• ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ  ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ  เนื่องจาก  เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
• เรายังไม่ทราบนะว่า  เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ  ซึ่งจะกล่าวถึงใน  เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด  (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }

ข้อตกลง  ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax  เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้  จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax  เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น

ข้อสังเกต  จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

• f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x = 1  ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  จึงไม่สนใจ  ฐาน (a) ที่เป็น 1
• f(x) = 1x  ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล  เนื่องจาก  f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว
• จากเงื่อนไขที่ว่า  y = ax, a > 0, a ¹ 1  ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ  0 < a < 1 กับ a > 1
• ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด  โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a)  ดังนี้

ชนิดที่ 1     y = ax, 0 < a < 1
ชนิดที่ 2     y = ax, a > 1

กราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1
            ลองศึกษารูปร่างกราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1  จากตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1  จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน  y = 
            วิธีทำ    ฟังก์ชัน  y =   เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนินเชียลที่มีฐาน (a) เป็นจำนวนจริงบวกที่มีค่าน้อยกว่า  1 ( 0 < a < 1  นั่นเอง

  เขียนตารางแสดงจุดผ่านบางจุดของกราฟ y =   ดังนี้

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	1

อ่านเพิ่มเติม

ฟังก์ชันกำลังสอง (Quadratic function)

ฟังก์ชันกำลังสอง   (Quadratic function)

            ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป    y   =   ax² + bx + c   เมื่อ  a, b, c  เป็นจำนวนจริงใด ๆ  และ  a ¹ 0   ซึ่งกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง  เรียกว่า  พาราโบลา

1)     y  =  2x² + 3x – 10     เมื่อ   a = 2 ,  b = 3   และ  c = -1

                                2)     y  =   x² + 1                เมื่อ   a = 1 ,  b = 0   และ  c =  1

                                3)     y  =  -x² + 2x + 1       เมื่อ   a = -1 ,  b = 2   และ  c = 1

                1)   กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0

                         กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง   มีชื่อเรียกว่า  พาราโบลา  ซึ่งลักษณะของกราฟของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c   และเมื่อ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ  และกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a¹ 0       เมื่อ  a  > 0   และชนิดคว่ำ   เมื่อ   a < 0    

                สรุป                ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ    y  =  ax²   เมื่อ  a ¹ 0

                                -  เมื่อ   a > 0  ได้พาราโบลาหงาย  จุดต่ำสุดอยู่ที่  (0, 0)

                                          เมื่อ   a < 0   ได้พาราโบลาคว่ำ   จุดสูงสุดอยู่ที่  (0, 0)

                                -  แกนสมมาตรคือ  แกน  Y   หรือเส้นตรง   X  =  0 , 

                                          สมการแกนสมมาตรคือ  X  =  0

                                -  เมื่อ   a > 0   ค่าต่ำสุดคือ  0  และ  เมื่อ  a < 0   ค่าสูงสุดคือ  0

                                -  | a |  ยิ่งมากกราฟยิ่งแคบ  

อ่านเพิ่มเติม